数学的な用語としてのトポロジー（位相幾何学）においては、連続的な変形によって互いに一致させることができるような図形は「トポロジカルに同一」、これができなければ「トポロジカルに異なった図形」などと呼ばれる。物理学においても、物質のトポロジカルな構造に着目した研究が注目を集めており、2016年度のノーベル物理学賞はこの分野で顕著な業績を挙げたD.J.サウレス、F.D.M.ホールデンおよびJ.M.コステリッツに授けられた。物質中のトポロジカルな構造とは、たとえば渦状の構造であり、熱ゆらぎによって多数の渦構造が自発的に励起する場合がある。渦はその巻き方の正逆によって電荷と同様にプラスとマイナスの符号を付与することができる。単一の渦構造は連続的な変形あるいは状態変化によっては消し去ることができない安定な構造である。厚みを無視できるような二次元的なある種の磁性体や、薄膜状態の超流動体や超伝導体でこのような渦の集団が生じると、正負の渦が束縛された対をなして分布する場合と、束縛がほどけて正負がばらばらに分布する場合があり、これら二つの物質状態間に相転移が起こる。これは対称性の自発的破れをともなう通常の相転移とは本質的に異なる相転移であり、コステリッツとサウレスが理論的にその存在を明らかにした。
その後、量子力学的なゆらぎによって生じるトポロジカルな構造が物質の性質にとって重要な役割をもつトポロジカル相の存在が明らかとなり、サウレスは量子ホール効果において、ホールデンは鎖状の量子スピン系においてその重要性を論じた。