曲面・曲線の概念の拡張。H.ポアンカレの解曲面（→「微分方程式」）から、曲面・曲線の形状の研究が始まった。曲線（curve）は一次元の線分を、曲面（surface）は二次元の平面を、それぞれ（曲げて）貼り合わせたものとみなせる。これと同じようにして、n次元の空間を貼り合わせたものがn次元の多様体。この貼り合わせ方で多様体の種類が決まる。
最もシンプルなものは位相多様体（topological manifold）であり、貼り合わせの条件は同相だけ。次に、PL多様体（piecewise linear manifold） は三角形分割でき、各三角形内で線形写像になる区分線形（piecewise linear）な貼り合わせで作られる。
微分可能多様体（differentiable manifold）は貼り合わせが滑らかなもの。複素n次元多様体（complex manifold）は複素数（→「虚数」）でのn次元（実数では2n次元）の空間を多項式の関数で貼り合わせたものである。これが、小平邦彦、広中平祐、森重文の研究対象だった。