連続関数（continuous function）は「近くのものが近くに移る」関数である。連続性によって、中間値の定理（intermediate value theorem）、最大値原理（maximum-modulus principle）、不動点定理（fixed point　→「不動点」）が生まれ、さらに微分の定義にもかかわる。
一方、関数解析（functional analysis）では関数の集合が対象であり、また代数多様体などの集合の間の対応もある。このとき「近くのもの」が何であるのかが問題である。集合に対して、開集合（open set）となる部分集合を定めることを「位相を定める」といい、「ある点の周り」を「ある点を含む開集合」で代用する。二つの集合AとBに位相が定まれば、AからBへの対応の連続性を定義できる。
例として、関数の集合でのバナッハ空間（Banach space）のバナッハ位相（Banach topology）やヒルベルト空間（Hilbert space）などがある。